Вывод формулы расчёта аннуитетного платежа

Размещено: 14 апр 06
Обновлено: 05 фев 08

Вывод формулы расчета Аннуитетного платежа (АП)

Ежемесячный Аннуитетный Платеж (ЕАП) - один из видов платежей в ипотеке. АП - равный неизменяемый платеж на весь срок кредитования. АП подразделяются на Относительные (ОАП) и Абсолютные (ААП).

ОАП выражаются в процентах или долях от суммы кредита

ААП в денежных единицах (рубли, доллары,...).
ААП равен произведению ОАП на Сумму Кредита (СК)

ААП = ОАП*СК

Вывод формулы ОАП/ААП

ЗАДАЧА: Требуется вывести формулу расчета ОАП/ААП с полным погашением кредита за n - Аннуитетных Платежей

Исходные данные, обозначения и сокращения:
CК = 1 - сумма кредита
n - количество АП - равных платежей, Процентных Периодов (ПП)
p - Процентная Ставка (ПС) (в долях) за 1 ПП (если p = 1%, то доля = 0,01)
k - номер платежа
D_k - долг после k-платежа
D_n = 0, т.к. заемщик после n-платежей полностью рассчитается по кредиту
а - размер ОАП

Применим вспомогательный коэффициент - q

q = 1 + p, где
р - ПС (в долях) за ПП

С каждым последующим АП остаток долга, на который начисляется процент уменьшается до нуля после последнего АП

D_k = D_k-1 + D_k-1*p - a = D_k-1*(1 + p) - a = D_k-1*q - a

СК = 1 > D₁ > D₂ > ... > D_k-1 > D_k > D_k+1 ... > D_n-1 > D_n = 0

СК = 1

D₁ = СК + СК*p - a = СК*(1+p) - a = СК*q - a = 1*q - a = q - a

СК = 1 > D₁ = СК + СК*p - a = 1 + p - a
т.е.
1 > 1 + p - a
0 > p - a
a > p = (q - 1)
Т.к. очевидно, что при ОАП = a < p или a = p, заемщик никогда не рассчитается с банком

D₂ = D₁ + D₁*p - a = D₁*(1 + p) - a = D₁*q - a = (q - a)*q - a = q² - a*q - a

D₃ = D₂*q - a = (q² - a*q - a)*q - a = q³ - a*q² - a*q - a = q³ - a*(q² + q + 1)

D_k = D_k-1*q - a = q^k - a*(q^k-1 + q^k-2 + ... + q + 1)

D_n = D_n-1*q - a = qⁿ - a*(q^n-1 + q^n-2 + ... + q + 1) = 0

Т.е.

qⁿ = a*(q^n-1 + q^n-2 + ... + q + 1)

Правая часть уравнения - сумма n-членов геометрической прогрессии
Умножим и разделим ее на (q - 1)

qⁿ = a*(q^n-1 + q^n-2 + ... + q + 1)*(q - 1)/(q -1)

qⁿ = a*(qⁿ - q^n-1 + q^n-1 - q^n-2 + q^n-2...- q + q - 1)/(q - 1)

qⁿ = a*(qⁿ - 1)/(q - 1)

Откуда

a = (q - 1)*qⁿ/(qⁿ - 1) = (q - 1)*(qⁿ - 1 + 1)/(qⁿ - 1) = (q - 1)*[1 + 1/(qⁿ - 1)] = (q - 1) + (q - 1)/(qⁿ - 1]

или

a = (q - 1)*qⁿ/(qⁿ - 1)

Если разделим числитель и знаменатель на qⁿ, то

a = [(q - 1)*qⁿ/qⁿ]/[(qⁿ - 1)/qⁿ] = (q - 1)/(1 - 1/qⁿ) = (q - 1)/(1 - q^-n)

Зная, что q = 1 + p или p = q -1, получаем следующие Формулы расчета ОАП

Формулы расчета ОАП
1 (q - 1) + (q - 1)/(qⁿ - 1] 1a p + p/[(1 + p)ⁿ - 1]
2 (q - 1)/(1 - 1/qⁿ) 2a p/[1 - 1/(1 + p)ⁿ]
3 (q - 1)/(1 - q^-n) 3a p/[1 - (1 + p)^-n]

**Формулы расчета ОАП**
1	(q - 1) + (q - 1)/(qⁿ - 1]	1a	p + p/[(1 + p)ⁿ - 1]
2	(q - 1)/(1 - 1/qⁿ)	2a	p/[1 - 1/(1 + p)ⁿ]
3	(q - 1)/(1 - q^-n)	3a	p/[1 - (1 + p)^-n]

ПРИМЕЧАНИЕ 1:

Результаты расчетов по любой из 6 формул будут одинаковыми
- Эти формулы неприминимы для случая p = 0. При p = 0 следует просто разделить сумму кредита на количество платежей
- Формулы 1 и 1а - самые простые и наглядные. Из формулы 1а очевидно, что при ПС = p > 0 ОАП всегда больше p. Иначе заемщик никогда рассчитается по кредиту
- На интернет-сайтах чаще всего приводятся формулы вида 3а и ее аналоги.

ПРИМЕЧАНИЕ 2

По сути все 6 формул, приведенные в таблице, - различные вариации одной и той же основной формулы. На практике различные кредитные организации применяют три различные, включая приведенную, основные формулы расчета АП. Подробнее об этом в теме: Три формулы расчета АП. Какая правильная?

Формулы расчета Аннуитетного Платежа

(3а): -- ОАП = p/[1 - (1 + p)^-n]

ААП = СКОАП = СКp/[1 - (1 + p)^-n]

, где

ОАП и ААП - относительный и абсолютный АП
СК - сумма кредита
p - ПС (в долях) за ПП (если p = 1,2%, то доля = 0,012)
n - количество АП или ПП

или приводимые на сайтах

Формулы расчета Ежемесячного Аннуитетного Платежа

(3а): -- ОАП = p/12/[1 - (1 + p/12)^-n]

ААП = СКОАП = СКp/12/[1 - (1 + p/12)^-n]

, где

ОАП и ААП - относительный и абсолютный АП
СК - сумма кредита
p - ПС (в долях) за год (если p = 12%, то доля = 0,12)
p/12 - ПС за месяц - ПП
n - количество АП или ПП

Сумма ОАП: Соап = n*ОАП

Примеры расчета АП

Расчет по формуле 1a

1. СК - 1 млн. руб; ПС - 15%/год = 1,25%/мес = 0,0125; срок - 30 лет - 360 АП или ПП

ОАП = a = p + p/[(1 + p)ⁿ - 1] = 0,0125 + 0,0125/[(1 + 0,0125)³⁶⁰ - 1] = 0,012644 = 1,264%/мес от СК
ААП = СК*ОАП = 1000000 * 0,012644 =12644 руб = 12,64 тр/мес
Соап = n*ОАП = 360*1,264% = 455% от СК

2. Тот же кредит в Постоянных Рублях (ПР)
Рублевой ПС - 15%/год при Спорном Инфляционном Прогнозе - 12%/год соответствует ПС в ПР - 2,678%/год (1,15/1,12 = 1,02679; = 2,678%)
СК - 1 млн. ПР; ПС в ПР - 2,678%/год = 0,223%/мес = 0,00223; срок - 30 лет - 360 АП или ПП

ОАП = a = p + p/[(1 + p)ⁿ - 1] = 0,00223 + 0,00223/[(1 + 0,00223)³⁶⁰ - 1] = 0,004045 = 0,4045%/мес от СК
ААП = СК*ОАП = 1000000 * 0,004045 = 4045 ПР = 4,04 тПР/мес
Соап = n*ОАП = 360*0,4045% = 145,6% от СК

ПР - индекс цен, инфляционный показатель. Курс ПР измеряется в рублях и изменяется в соответствии с ростом цен. Если цены за некоторый период возрастают в 2 раза, то и курс ПР возрастет в 2 раза. Оплата в рублях по курсу ПР на день выплаты.

Применение ПР позволит заемщикам взять в разы больший кредит (в приведенном примере в 3,125 раза больше), т.е. на многие годы раньше решить жилищную проблему. Заемщик начинает оплачивать свое, а не чужое нанимаемое дорожающее жилье. Платить придется по растущему курсу ПР, но игра стоит свеч. При досрочном погашении можно рассчитаться значительно быстрее чем за 30 лет.

ПР решает проблему Спорного Инфляционного Прогноза. Вкладчики получают возможность реального сохранения и приумножения покупательной способности сбережений. Заемщики получают более доступные кредиты. Прибыли банков также возрастут, т.к. повысится доверие вкладчиков, существенно возрастут объемы и количество размещенных вкладов и выданных кредитов.