Три формулы расчета аннуитетных платежей. Какая правильная?

На форумах практически 100% вопросов по расчетам платежей по ипотеке относятся к АП. АП - равные платежи на весь срок кредитования. Абсолютный АП (ААП) равен произведению Относительного АП (ОАП) на Сумму Кредита (S)

ААП = ОАП * S

На форумах приводятся различные формулы расчета АП. Поэтому у форумчан и гостей возникает естественный вопрос. А какая из формул правильная? Остановимся на трех сомнительных формулах:

1. ОАП = p/[1-(1+p)^-n] = p/[1-1/(1+p)ⁿ] = p + p/[(1+p)ⁿ-1]

2. ОАП = p/[1-(1+p)^1-n] = p/[1-1/(1+p)^n-1] = p + p/[(1+p)^n-1 - 1]

3. ОАП = p/[1-(1+p)^2-n] = p/[1-1/(1+p)^n-2] = p + p/[(1+p)^n-2 - 1], где

р - процент за период (в расчетах вместо 1% применяется 0,01 и т.д.)
n - количество платежей - процентных периодов

Расчеты по этим формулам приводят к трем различным результатам. Здесь всего два варианта: либо все три формулы Неправильные (Нп), либо одна Правильная (Пр), а две другие Нп. Третьего не дано. Поэтому необходимо определить, какая из этих формул Пр. На первом этапе при простой проверке выявляются две явно Нп формулы. Далее "Пр" проверяется в Excel по функции ППЛАТ. Эта функция и есть АП.

Имеющие опыт работы с Excel, могут пропустить простую проверку и решить данную проблему

Перед простой проверкой сделаем четыре логических предположения:
• Формула должна быть верной для любого количества платежей при произвольном р
• Формула должна быть верной для случая с одним единственным АП при произвольном р
• Случай с единственным АП уникален тем, что мы заранее знаем Пр ответ:
  ОАП = 1 + р = р + 1
  Например, для р = 1%: ОАП = 1 + р = 1 + 0,01 = 1,01 = 101% (от суммы кредита)
• Конечно, на практике никто не будет применять сложные формулы для случая с единственным АП, тем более когда Пр ответ заранее известен. Но, зато этот случай с известным заранее Пр ответом, как нельзя кстати, подходит для проверки сомнительных формул

  ПРОСТАЯ ПРОВЕРКА

• Для случая с одним АП:
  n = 1
  контрольный результат ОАП = 1 + р = p + 1
• Не нужно проверять формулы целиком. Достаточно проверить знаменатели формул вида:
  ОАП = р + р / ЗН
  Где ЗН - знаменатель
  Если ЗН = р, то ОАП = р + р / р = р + 1, т.е. формула "Пр"
  Если ЗН не равен р, то Нп
• 1-я формула: ЗН = (1 + p)ⁿ - 1 = (1 +p)¹ - 1 = 1 + р -1 = p - "Пр"
• Можно проверить 1-ю формулу на конкретных значениях р
• 2-я: ЗН = (1 + p)^n-1 - 1 = (1 + p)^1-1 - 1 = (1 + p)⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 - Нп
• 3-я: ЗН = (1+p)^n-2 - 1 = (1 + p)^1-2 - 1 = (1 + p)^-1 - 1 = 1 / (1 + р) - 1 = (1 - 1 - р)/(1 + р) = -р /(1 + р) - Нп

  ПРОВЕРКА В EXCEL

• Сначала проверяется случай с единственным АП. Результаты те же, что и при простой проверке
• Далее, сравнивая результаты расчетов на инженерном калькуляторе для случаев с любым количеством платежей с результатами Excel, окончательно убеждаемся, что 1-я формула правильная.

Итак, мы выяснили, что из трех формул правильной является первая. Но не все так просто, потому что все три формулы применяются на практике различными кредитными организациями. Например, 2-я формула - стандартная формула АИЖК. Наименьший АП получается при расчетах по 1-й формуле, наибольший - по 3-й. Причем чем меньше АП остается до окончательного расчета, тем существеннее становится эта разница. Что особенно важно при досрочном погашении. Поэтому необходимо интересоваться не только процентной ставкой, но и формулой по которой рассчитываются АП

Талица. Сравнение Относительных Аннуитетных Платежей, рассчитанных по различным формулам, для различных сроков кредитования в месяцах при процентной ставке - 1% в месяц

Месяцы	Формула 1			Формула 2			Формула 3
n	ОАП	n*ОАП	Перепл	ОАП	n*ОАП	Перепл	ОАП	n*ОАП	Перепл
5	20,6	103,02	1	25,63	128,14	1,2438	34	170,01	1,6503
12	8,88	106,62	1	9,65	115,74	1,0856	10,56	126,7	1,1883
60	2,22	133,47	1	2,25	135,12	1,0124	2,28	136,83	1,0252
120	1,43	172,17	1	1,44	172,92	1,0044	1,45	173,68	1,0088
180	1,2	216,03	1	1,2	216,46	1,002	1,21	216,9	1,004
360	1,03	370,3	1	1,03	370,41	1,0003	1,03	370,51	1,0006

Видимо, на практике все совсем не так, как представлено в таблице. Но таблица довольно наглядна, поэтому решено ее оставить.

До недавнего времени я понятия не имел, что "неправильные" формулы используются на практике. Хочется в этом разобраться. Думаю, основательнее разобраться в АП помогут планируемые темы
• Вывод формулы АП
• Какие платежи выгоднеее: аннуитетные или дифференцированные
• Досрочное погашение АП
• И т.д.

Само наличие 3 различных формул расчета АП вызывает вполне естественные вопросы. Оказывается, что все 3 формулы, с необходимыми оговорками, правильные. Можно было разобраться в этом сразу. Но проблема в том, что на многих сайтах отсутствуют внятные объяснения. Заемщик в любом случае осуществляет n-платежей, но есть отличия в количестве Аннуитетных Платежей

1-я формула: все n-платежей - Аннуитетные

2-я формула: Всего n-платежей. 1-й платеж предварительный - не Аннуитетный. Он всегда, якобы, меньше АП, т.к. включает в себя только проценты за 1-й процентный период (ПП), который может быть полным или неполным (ПП или месяцем). Но при полном периоде - 31 день, при высоких ПС и долгосрочном кредитовании предварительный платеж может быть больше АП! Оставшиеся (n - 1) платежей - Аннуитетные

3-я формула: Всего n-платежей. 1-й и последний платежи не Аннуитетные. 1-й - только проценты за 1-й ПП. Последний - остатки, "хвосты" и т.д. Оставшиеся (n - 2) платежей - Аннуитетные. Видимо, банки подгоняют АП под целое число рублей или долларов. Поэтому образуется "хвост", который переходит на последний не Аннуитетный Платеж. Далее после каждого досрочного погашения банки подгоняют уже новый уменьшенный АП под целое число денежных единиц. Т.е. "хвост" может уменьшаться или увеличиваться.

Для всех формул:
- Срок кредита одинаковый - n-Процентных Периодов
- n - общее количество платежей - Аннуитетных и не Аннуитетных
- n, n - 1, n - 2 - показатели степени, количество АП, число ПП для АП
- ОАП₃ > ОАП₂ > ОАП₁, т.к. с уменьшением количества АП при неизменной сумме кредита возрастает величина отдельного АП

1. ГЛАВНАЯ. 12 ТЕМ (9 kb)

2. Английские страницы. English pages (9 kb)

3. БОЛЕЕ 8 ДРУГИХ ТЕМ: ИПОТЕКА И НЕ ТОЛЬКО. ССЫЛКИ (2 kb)

4. Краткое содержание размещенных и планируемых тем (9 kb)

   ТЕМЫ ПОСТОЯННОГО РУБЛЯ

5. Постоянный Рубль - против доллара. Курс ПР - Индекс Цен. ПР обеспечит реальное сохранение и приумножение покупательной способности сбережений, сделает кредиты более доступными (12 kb)

6. В чем причина и парадокс Нереальных Процентных Ставок? Спорный инфляционный прогноз (7 kb)

7. САМАЯ ВАЖНАЯ ТЕМА: Без налоговой реформы не будет ни существенного роста экономики и уровня жизни, ни нового жилья, ни решения жилищной проблемы.
   Сравнение действующей и предлагаемой налоговых систем. Как удвоить ВВП, избавившись от Паразитных Инфляционных Налогов. Налоговая реформа (16 kb)

   ИПОТЕКА

8. Ипотека. Вводная тема. Калькулятор аннуитетных платежей. Расчет аннуитетных и дифференцированных платежей (14 kb)

9. Расчет максимально допустимого роста курса валюты ипотечного кредита (26 kb)

10. Таблица. Курсы доллара к рублю за 2003-2007 г. Ипотека в долларах США (8 kb)

11. Постоянный Рубль сделает (без дотаций) ипотеку более доступной (11 kb)

12. Вывод формулы расчета аннуитетного платежа (9 kb)

13. Какие платежи выгоднее: аннуитетные или дифференцированные? (2 kb)

14. Какие платежи объективнее: аннуитетные или дифференцированные? (3 kb)

15. Досрочное погашение аннуитетных платежей (2 kb)

16. Досрочное погашение или рефинансирование ипотечного кредита (2 kb)

17. Оптимальный ипотечный кредит: размер, процент, срок, валюта (16 kb)

18. По настоящему ипотека начнет работать только тогда, когда появится переизбыток вновь вводимого жилья. Или.
    Гиперинфляция, дефолт и коррупция - оборотные стороны дотационной ипотеки (11 kb)

Форумы по ипотеке, экономике, налогам (5 kb)

Гостевая

Задайте вопросы Президенту России